为了确切地描述超弹体性能，某些材料模型需要从至少3种形变模式中（单向拉伸、双向拉伸和平面型）输入应力-应变的测试数据。多年来，一直认为轮胎分析的成功，得益于使用限单元分析法（FEA）。很大程度上是依靠精心选择合适的组成材料模型，及正确地输入与这些模型相关的材料常量。实际上，在轮胎的所有橡胶成分中做上述形变模式的实验，需投入巨大的资本及测试时间。为了克服这个难题，由Yeoh所提的一种简化式立体应变能函数被采用。本文运用时间范围粘弹性设定了粘弹体的特性，出于此目的而设计出一种应力松弛测试法。最后，我们也对粘弹体材料特性对于多种参数，如Von Mises应力，应变能等的影响一一进行了讨论。
近年来，在轮胎的设计过程中已广泛运用有限单元分析法，以通过最少地使用类型制作及测试的时间以减少设计周期的时间。实际上，轮胎分析中使用有限单元分析法对于设计者而言是一项复杂的任务，因为它的材料特性和几何特性均是高度非线性的。轮胎的大面积形变，通常大至20%（比其他机械结构要大很多），就是几何非线性的最好例证。一些高级非线性有限单元分析法标准使我们处理问题会联想到轮胎分析法。在有限单元分析中，要将轮胎模型中的应变同应力联系起来，进而描述轮胎各组成物的机械性能，而其基础则是选择正确的机械模型。意识到这一点非常重要。
众多关于橡胶材料的组成模型的研究已使很多材料模型在描述橡胶的机械性能上更具准确性。过去的几年中，用于商业用途的有限单元标准法制成的一些较为流行的材料模型，它们的引入使得设计工程师的任务更为轻松。需要重点提及的是: 关于材料类型的选择，很大程度上由众多因素所影响，如：应用类型、应变范围、所需测试数据的准确性等等。很明显，使用这些材料模型的设计分析的准确性直接关系到将材料常量作为输入值的质量。橡胶材料的材料常数的正确定型取决于加载负荷速率、应变史、应变量和形变类型等几个方面。据观察，形变引起橡胶软化，而这是获得平衡应力-应变数据的主要障碍。大多数软化发生于第一次形变中，经过几次形变周期后，带恒定的应力-应变曲线，橡胶接近稳定状态。这种方式的软化发生在有填料或者无填料的硫化中。这种现象被命名为Mullins效果。为了获得平衡应力-应变数据，测试样本需有足够的机械条件。在接下来的几个部分中，关于材料模型的细节及关于确定材料常量的实验性方法的大致描述，我们都会进行相关讨论。
超弹体材料模型的塑造过程
一般而言，超弹体模型用于描述高度形变，主要是弹性及可逆性加载负荷，同时推断高度非线性及近乎不可压缩的材料特性。已开发出多种理论模型来描述橡胶超弹体材料的特性。其中，一些是基于统计热力学，而另一些则采用了唯象法。
统计热力学以观察为基础，观察发现：橡胶弹力几乎全部来自于熵的减少，而同时，伸长却有所增长，这来自于高度无定形及高熵的非拉伸橡胶的结构。这种方法主要用于处理长度，定位的统计分散及橡胶分子的结构，但应变值较大时似乎显得不足。还可以发现更多信息。
唯象法则是从连续介质机械学的角度处理问题。构造一个数理框架，在无微观结构的参考下以辨别出应力-应变特征。假定橡胶在未筛选状态下为一种各向同性材料，也就是说，橡胶的长链分子被假定为随机排列。橡胶伸展会引起橡胶分子的定位，但因为定位与伸展的方向一致，因此各向同性的假设依然成立。各向同性的假设对于橡胶靠某种数量，即应变能浓度 — 每单位内储存能量而决定的品质鉴定非常重要。某些已为人所知的组成模型有：Neo-Hookean, Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh和Van der Woals模型等。在已出版的相关文章中可找到关于超弹体材料模型的相关信息。
基于应变能功能的一般多项式形式已研制出多种经验橡胶弹性模型。Rivlin提出的最普通的应变能函数为：
ijk=0
W=∑Cijk (I1-3) i (I2-3) j (I3-1) k (1)
ijk-0
其中I1，I2和I3为主要的应变常量。假如是不可压缩材料，I3=1，则应变能函数变为：
ij=n
W=∑Cij (I1-3) i (I2-3) j (2)
ij-0
从方程2中只取第一和第二项，
W= C10 (I1-3)+C01 (I2-3) (3)
这就是Mooney-Rivlin材料模型。在橡胶产品的分析中，它是最为流行的材料模型。实际上，这种模型在下列方面却有其内在缺陷。这种模型不能预测橡胶材料的较大应变特性。据观察，从某一种形变模式中测得的Mooney-Rivlin常量对于预测其他形变模式中的特性收效甚微。而且，这种模型预测现行剪切应力-应变同恒定剪切模量的关系，而实际上，这在碳黑填充的橡胶材料中并不是观测对象。Neo-Hookean模型也有类似的不足之处。虽然Ogden模型可以非常出色地预测较大应变特性（包括应力应变曲线的上升趋势），但当多轴测试数据有效时，它才能发挥最佳性能。值得一提的是：上述缺陷对于轮胎分析来说相当之关键，因此就需有一种合适的材料模型。在这种背景下，Yeoh为橡胶材料的品质鉴定提出了一种新的应变能公式。Yeoh模型假设应变能浓度是第一主要应变常量I1的函数公式。不考虑I2的原因是同I1相比，其贡献微乎其微，这在已出版过的实验数据中亦有记载。这是一个简单的关于（I1-3）的立体应变能函数：
W= C10 (I1-3)+C20(I1-3) 2+C30(I1-3) 3 (4)
单向延伸中应力-应变关系如下：
σ/(λ-λ2）=2C10+4C20 (I1-3)+6 C30(I1-3)2 (5)
Yeoh模型的某些独特的特点使它与其他模型与众不同，这些特点包括：
● 同其他材料模型不一样的是，Yeoh模型可在更多的形变中得以应用。
● 这种模型可通过从一种简单的形变模式，如单向延伸中获得的数据预测出在其他形变模式中的应力-应变特性。这就避免了进行烦琐实验的必要，如双向延伸或剪切测试实验等，这些实验不仅费时间，而且极费财力。
● 随着不断增长的形变，这种模型也能预测剪切模块的变化。
本文选择Yeoh材料模型来描述橡胶化合物的超弹特性。
粘弹性材料的塑造
弹性体的粘弹性，或者说是应力变化的延迟反应，对于轮胎性能预测至关重要。动力学理论中研究弹性体材料的粘弹性效果的平衡或逆向应力-应变关系已不是研究的主流。众所周知，弹性体能展示与时间相关联的现象，如应力松弛、塑性形变和变频等动力学特性。这些粘弹体特性对于轮胎的牵引力（湿和干）、操纵反应和抗滚动性（燃油效率）等特性有明显的影响。因此，轮胎分析中也需要考虑粘弹性以更准确地预测出产品的性能。
线性粘弹体的数理理论可通过一种分析展示，这种分析的内容为：理想的弹簧粘壶模型，分别代表某种材料的弹性部分和粘性部分对应力做出的反应。第一种是Maxwell模型，它由一个弹簧和一个粘壶（缓冲器）串联构成。装料的突然应用引起弹簧迅速地挠曲，紧接着是粘壶的塑性形变。另一方面，弹簧上一次突然的形变产生了一次快速的反应，根据指数定理，接着即为应力松弛。第二种是Kelvin模型（也被称做Voigt或Kelvin-Voigt），它由平行的弹簧和粘壶组成。突然向其加力并未产生挠曲，因为粘壶（与弹簧平行放置）不是同时运动的。相反地，逐渐生成了形变，而弹簧承受了持续增加的负荷。粘壶置换指数性地松弛。第三种模型是标准的线性固体物，它由2个弹簧和1个粘壶构成。而它的性能则是Maxwell和Kelvin模型性能的综合体。
在大多数商用有限分析项目中，与时间相关联的材料特性根据含有超弹体应变能函数的粘弹体构成物定理所塑造。粘弹体反应可划分为时间范围和频率范围，取决于分析的类型。时间范围的粘弹体材料由Prony无量纲松弛模块的系列膨胀所界定。
N -p
gR(t)=1-∑ gi (1-e-t/τGi) (6)
i=1
其中, gR(t)是正常的松弛模块，N是Prony条件的数量，是材料常量。
实验程序
本研究中使用的是乘用车用子午线轮胎，研究用于不同组成物（如胎面、侧壁、带束等）的所有橡胶化合物。用单向拉伸法以区分出用拉力测试机的橡胶硫化物的机械性能（应力-应变）。根据ASTM D-412定理将拉伸测试样品从型材中切割出来。在实际观测之前，样品以每分钟50mm的速度预伸展，最大时为100%应变，并长达10个周期。我们要求这次预调节能消除应力-软化的影响。在预调节中，样品每次卸荷和再负荷之间有5分钟的松弛时间。预调节的最后，从夹具上拿下样品并在开始做最后的测试之前，让它们松弛30分钟。随后，测试样品，并在不同的应变间隔记录下应力的值。包括预调节测试在内的所有观测均只在室温下进行。
应力松弛实验运用的是拉伸模式，使用拉力实验机以测出橡胶化合物的粘弹特性。通过速度为每分钟500mm的方式伸展样品来进行预调节，并持续几个周期，最后，样品有30分钟的松弛时间。随后，伸展样品到100%应变程度，并在此条件下持续900秒以进行应力松弛测试。不同时间间隔内的应力值也被一一记录。
超弹体，粘弹体材料常量的测定
通过Abaqus中的最小平方曲线调整程序进行实验性应力-应变数据中某些部分的超弹体材料常量的测定，这种方法将应力中的相对误差降到最低程度。其相对误差为：
E=∑（1-Tith/Titest) 2 (7)
其中，Titest是测试数据中的应力值，Tith来源于从多额应变能函数中获得的公称应力表达法。已检查过所有材料的Drucker稳定标准。表1所示为所有橡胶化合物的Yeoh材料模型（C10，C20，C30）的材料常量的值。据观察，C20的所有值均为负数，而且数值都小于C10。而C30皆为正数，但数值上比较，却小于C20的值。这些数值将形成橡胶应力-应变特性的典型的S形状：在低应变值时，C10代表初始剪切模块，因为负系数（C20）的影响，它能在中等应变下软化，接着，因为正系数（C30）的缘故，应变值大幅增加。图1所示为Yeoh模型和Rooney-Rivlin模型之间的比较，据观察，Yeoh模型与测试数据比较吻合。图2所示为大应变值时（300%）Yeoh模型的适用性。
图1、胎面化合物Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型的比较
图2、内衬化合物中根根实测数据调整Yeoh模型
运用从应力松弛测试中获得的应力与时间数据计算出粘弹体材料的参数。这些应力松弛数据被转化成剪切松弛数据，推断材料的近乎不可压缩性。图3所示为Abaqus模型（N=2）调整为带束层测试数据的比较。接下来，通过非线性最小平方调整程序得出Prony系列参数。有一条基本定律是：Prony系列中条件数量不能超过被测试数据spanned刻度化的对数十进制量。目前的测试数据达到了900秒（≈3十进制）。因此2-3 Prony系列条件需要做一次很好的调整。此例中，两条件Prony系列常量被用于代表所有橡胶化合物的粘弹性，表2所示为其值。
图3、根据应力松弛测试数据调整Abaqus模型的比较
结论
已为橡胶材料研制出超弹体和粘弹体材料常量的简单实验性方法。运用单轴拉伸测试法和应力松弛测试（拉伸模式中）分别界定出超弹体和粘弹体材料的特性。后来，运用这些材料常量进行某种轮胎的分析研究，在预测值和实验结果之间显示出很好的关联性。实验证明，粘弹体材料的内在物质能改善预测的准确性。不久以后，我们计划开发出更为先进的，可预测轮胎耐滚动性和温度分布的粘弹体测试方法。
表1、超弹体材料常量
材 料 常 量
化合物 C10(N/mm2) C20(N/mm2) C30(N/mm2)
胎面 0.7769 -0.2759 0.0953
侧壁 0.4876 -0.1413 0.0386
胎身 0.4795 -0.1356 0.0436
带 1.0239 -0.4272 0.1732
填料 1.0414 -0.3908 0.1343
垫带 0.6659 -0.2085 0.0651
内衬 0.4861 -0.1152 0.0253
胎圈 0.5998 -0.1218 0.0267
表2、粘弹体材料常量
材 料 常 量
化合物 松弛模块(g) 松弛时间(t)秒
g1 g2 t1 t2
胎面 0.1296 0.1209 1.08 51.42
侧壁 0.0619 0.0689 1.70 109.3
胎身 0.0567 0.0681 2.44 99.51
带 0.0853 0.0834 0.92 54.63
填料 0.1132 0.1113 0.97 51.70
垫带 0.0868 0.0889 1.18 60.31
内衬 0.0910 0.0944 1.01 60.15
胎圈 0.0844 0.0959 1.30 109.1
（转载）
